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高数复习

高数复习

一、微分方程

微分方程的基本概念

  • 凡是表示未知函数、未知方程的导数与自变量自变量之间的方程叫做 微分方程
  • 未知函数的最高阶导数称为 微分方程的阶

可分离变量的微分方程

  • 一阶的微分方程能写成:g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx
    • 处理方法:两边同时积分为 g(y)dy=f(x)dx\int g(y)dy=\int f(x)dx

齐次方程

  • 一阶微分方程可化成:d(y)dx=ϕ(yx)\frac{ d(y) }{ dx }=\phi(\frac{ y }{ x })
    • 处理方法:
      • d(y)dx=ϕ(yx)\frac{ d(y) }{ dx }=\phi(\frac{ y }{ x }) 中,设 u=yxu=\frac{ y }{ x },则 y=uxy=uxdydx=u+xdudx\frac{ dy }{ dx }=u+x\frac{ du }{ dx }
      • 带入方程uu,得 xdudx=ϕ(u)ux\frac{ du }{ dx }=\phi(u)-u
      • 最后得到 duϕ(u)u=dxx\int\frac{ du }{ \phi(u)-u }=\int\frac{ dx }{ x }
  • 可化为齐次的方程: dydx=ax+by+ca1+b1+c1\frac{ dy }{ dx }=\frac{ ax+by+c }{ { a_1 }+{ b_1 }+{ c_1 } } (c=c1c={ c_1 }则为齐次方程)
    • 若为非齐次方程
      • x=X+hy=Y+kx=X+h,y=Y+k
      • dydx\frac{ dy }{ dx }dXdY=aX+bY+ah+bk+ca1X+b1Y+a1h+b1kc1\frac{ dX }{ dY }=\frac{ aX+bY+ah+bk+c }{ { a_1 }X+{ b_1 }Y+{ a_1 }h+{ b_1 }k{ c_1 } }
      • 则在方程组$$\begin{cases} ah+bk+c=0 \{ a_1 }h+{ b_1 }k+{ c_1 } =0\end{cases}$$中
      • ①若系数行列式不为零,则可推出一定有hh kk满足以上方程组
        • 找出hh kk后的式子化为dYdX=aX+bYa1X+b1Y\frac{ dY }{ dX }=\frac{ aX+bY }{ a_1X+b_1Y },得到齐次方程
      • ②若系数行列式不为零
        • a1a=b1b=λ\frac{ a_1 }{ a }=\frac{ b_1 }b=\lambda,那么原方程改写为dydx=ax+by+cλ(ax+by)+c1\frac{ dy }{ dx }=\frac{ ax+by+c }{ \lambda(ax+by)+c_1 },其中,令 u=ax+byu=ax+by
        • 引入新的变量v=ax+byv=ax+bydydx=a+bdydx\frac{ dy }{ dx }=a+b\frac{ dy }{ dx },原式可以得到1b(dvdxa)=v+cλv+c1\frac1b(\frac{ dv }{ dx }-a)=\frac{ v+c }{ \lambda v+c_1 },为可分离变量的微分方程

线性方程

  • 一阶线性微分方程:dydx+P(x)y=Q(x)\frac{ dy }{ dx }+P(x)y=Q(x)
    • Q(x)=0Q(x)=0为齐次
    • Q(x)0Q(x)\not=0为非齐次
  • 重要公式 y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+c)y=e^{ -\int P(x)dx } (\int Q(x)e^{ P(x)dx }dx+c)
  • 一般解法:
    • 先求齐次方程的解
    • 使用常数变易法得到一个变量的表达式
    • 将新的表达式带回原非齐次方程,最后积分得到结果

伯努利方程

  • 原方程dydx+P(x)y=Q(x)yn(n0,1)\frac{ dy }{ dx }+P(x)y=Q(x)y^n(n\not=0,1)类型的方程
    • 计算中的应用
      • 1.两侧同除以yny^n得到yn(dydx+P(x)y1n)=Q(x)y^{ -n }(\frac{ dy }{ dx }+P(x)y^{ 1-n })=Q(x)
      • 2.引入新的变量 z=y1nz=y^{ 1-n },带入上式,得到dzdx=(1n)yndydx\frac{ dz }{ dx }=(1-n)y^{ -n }\frac{ dy }{ dx }
      • 3.①式两端同时乘以(n1)(n-1)后再代入②,得到 dzdx+(1n)P(x)z=(1n)Q(x)\frac{ dz }{ dx }+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) 为线性方程,这时就可以求出结果了
    • 做题中的应用与上述过程类似

可降阶的高阶微分方程

  • 1. y(n)=f(x)y^{ (n)=f(x) }
    • 不断连续积分
  • **2. **y=f(x,y)y''=f(x,y')
    • p=yp=y' ,则有:y=dpdx=py''=\frac{ dp }{ dx }=p'
    • 方程就可以化为p=f(x,p)p'=f(x,p),得到通解 p=ϕ(x,c1)p=\phi (x,c_1)
    • p=yp=y' 带入,得到 dydx=ϕ(x,c1)\frac{ dy }{ dx }=\phi (x,c_1)
    • 最后两侧积分得到 y=ϕ(x,c1)dx+c2y=\int \phi (x,c_1)dx+c_2
  • **3. ** y=f(y,y)y''=f(y,y')
    • y=py'=p,则有y=dpdx=dpdydydx=pdpdyy''=\frac{ dp }{ dx }=\frac{ dp }{ dy }·\frac{ dy }{ dx }=p\frac{ dp }{ dy }
    • 方程化为pdpdy=f(y,p)p\frac{ dp }{ dy }=f(y,p),通解:y=p=ϕ(y,c1)y'=p=\phi(y,c_1)
    • 分离变量并积分 dyϕ(y,C1)=x+C2\int\frac{ dy } { \phi(y,C_1) }=x+C_2

高阶线性微分方程

  • 1. 二阶齐次线性方程:y=P(x)y+Q(x)y=0y''=P(x)y'+Q(x)y=0
    • 叠加原理:函数y1(x),y2(x)y_1(x),y_2(x)是该方程的两个解,则y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)也是该方程的解(在线性代数中又有类似概念)
    • 不一定是所给二阶方程的通解
  • 2. 线性相关性和线性无关性
    • y1(x)y2(x)y_1(x)、y_2(x)线性相关y1(x)y2(x)=k2k1\xrightarrow{ 充分条件 } \frac{ y_1(x) }{ y_2(x) }=\frac{ k_2 }{ -k_1 }
    • y1(x)y2(x)y_1(x)、y_2(x)线性无关y1(x)y2(x)\xrightarrow{ 充要条件 } \frac{ y_1(x) }{ y_2(x) }\not=常数
      • 定理1:y1(x)y2(x)y_1(x)、y_2(x)是方程两个线性无关的特解,那么方程的通解为:y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)
      • 定理2:设y(x)y*(x)是二阶非齐次线性方y=P(x)y+Q(x)y=0y''=P(x)y'+Q(x)y=0的一个特解,Y(x)Y(x)是该方程对应的齐次方程:y=P(x)y+Q(x)y=0y''=P(x)y'+Q(x)y=0的通解,由叠加原理:y=Y(x)+y(x)y=Y(x)+y*(x)为二阶非齐次线性微分方程的通解
    • 通解中:常微分方程的解中所含任意常数的个数最多等于微分方程的阶数
    • 齐次方程的解可化为两个非齐次方程的解相减

常系数齐次线性微分方程

以二阶齐次线性方程:y=P(x)y+Q(x)y=0y''=P(x)y'+Q(x)y=0为例

  • 该方程可化为y=py+qy=0y''=py'+qy=0,则为二阶常系数齐次线性微分方程
  • 那么对他的特征方程:n2+pr+q=0n^2+pr+q=0有:
解的情况 对应通解
两个不等实根r1r2r_1、r_2 y=C1er1x+C2er2xy = C_1e^{ r_1x }+C_2e^{ r_2x }
两个相等实根r1r2r_1、r_2 y=(C1+C2x)er1xy = (C_1+C_2x)e^{ r_1x }
一堆共轭复根r1,2=α±βir_{ 1,2 }=\alpha\pm\beta i y=eax(C1cosβx+C2sinβx)y = e^{ ax }(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)
  • 对于更加高阶的方程:rn+p1nn1+p2rn2+...+pn1r+pn=0r^n+p_1n^{ n-1 }+p_2r^{ n-2 }+...+p_{ n-1 }r+p_n=0 (特征方程为:[(Dn+P1Dn1+...+Pn1D+Pn)y=0][(D^n+P_1D^{ n-1 }+...+P_{ n-1 }D+P_n)y=0])有
解的情况 对应通解
单实根 CerxCe^{ rx }
一对单复根r1,2=α±βir_{ 1,2 }=\alpha\pm\beta i eα(C1cosβ+C2sinβx)e^ { \alpha } ( C_1cos \beta+C_2sin \beta x )
KK重实根rr erx(C1+C2+C3+Ckxk1)e^ { rx } ( C_1+C_2+C_3 + C_kx ^ { k-1 } )
一对KK重实根r1,2=α±βir_{ 1,2 }=\alpha\pm\beta i eαx[(C1+C2+...+Ckxk1)cosβx+(D1+D2+...+Dkxk1)sinβx]e^ { \alpha x } [ ( C_1+C_2+...+C_k x^ { k-1 } )cos \beta x+( D_1+D_2+...+D_k x^ { k-1 } )sin \beta x ]

常系数非齐次线性微分方程

  • f(x)=eλxPm(x)f(x)=e^{ \lambda x }P_m(x)\xrightarrow{ }推测y=R(x)eλxy*=R(x)e^{ \lambda x }为方程的特解
λ\lambda与根的关系 对应的解
λ\lambda不是特征方程 pr+r2+q=0pr+r^2+q=0的根 y=R(x)eλxy* = R(x)e^{ \lambda x }
λ\lambda是特征方程 pr+r2+q=0pr+r^2+q=0的单根 R(x)=xRm(x)R(x) = xR_m(x)
λ\lambda是特征方程 pr+r2+q=0pr+r^2+q=0的重根 R(x)=x2Rm(x)R(x) = x^2R_m(x)

**结论:**特解的形式为y=R(x)eλxy*=R(x)e^{ \lambda x }

  • f(x)=eλx[P1(x)coswx+Qn(x)sinwx]f(x)=e^{ \lambda x }[P_1(x)coswx+Q_n(x)sinwx]型(欧拉公式应用)

**结论:**特解设为:y=λkeλx[Rm(1)(x)coswx+Rm(2)(x)sinwx]y*=\lambda ^ke^{ \lambda x }[R_m^{ (1) }(x)coswx+R_m^{ (2) }(x)sinwx]

Rm(1)(x)Rm(2)(x)R_m^{ (1) }(x)、R_m^{ (2) }(x)mm次多项式,m=max{l,n}m=max \{ l,n \}kkλ+wi\lambda+wi(或者λwi\lambda-wi)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1

Author: Joe1sn
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